Cours de mathématiques - MPSI

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On trouvera ci-dessous les chapitres (au format PDF) de l'année scolaire en cours (et précédente) tels qu'ils ont été distribués aux élèves. Ce sont des condensés de cours, ils contiennent le plan, les définitions, les théorèmes, les exemples fondamentaux, les énoncés des exercices, mais ils ne contiennent pas toutes les démonstrations ni tous les exemples ou les remarques qui ont été donnés pendant les cours, ni les tous les corrigés des exercices.

Tous les documents ont été réalisés avec le traitement de texte TeX (format LaTeX2e). Tous les graphiques et toutes les courbes ont été réalisés avec le logiciel TeXgraph. Bon nombre de coquilles ont été corrigées mais cela ne prouve évidemment pas qu'il n'y en ait plus !

Année en cours

Chapitre 1 : Éléments de logique Vocabulaire ensembliste. Calcul de propositions (connecteurs, quantificateurs, implication, équivalence). Types de raisonnements (absurde, analyse-synthèse, récurrence).
Chapitre 2 : Les nombres complexes Définition des nombres complexes, forme algébrique, forme trigonométrique, exponentielle complexe. Similitudes directes.
Chapitre 3 : Calcul algébrique Sommes, produits de nombres complexes (symboles $\sum$ et $\Pi$), sommes doubles. Binôme de Newton. Systèmes linéaires, méthode du pivot de Gauss.
Chapitre 4 : Généralités sur les fonctions Vocabulaire. Plan d'étude d'une fonction. Généralités sur la continuité, la dérivabilité. Primitives et intégration, intégration par parties, changement de variable.
Chapitre 5 : Fonctions usuelles Fonctions logarithmes, exponentielles, puissances. Fonctions circulaires et leur inversion. Fonctions hyperboliques.
Chapitre 6 : Équations différentielles Équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficients continus, d'ordre 2 à coefficients constants. Compléments : équations à variables séparées, équations de Bernoulli.
Chapitre 7 : Applications - Relations Applications d'un ensemble dans un autre, composition, notion famille d'éléments d'un ensemble. Composition, image directe, image réciproque. Injection, surjection, bijection, bijection réciproque. Relation binaire, relation d'équivalence, relation d'ordre.
Chapitre 8 : Les nombres réels Généralités sur les réels: ordre, propriété de la borne sup, partie entière, valeur absolue, approximation décimale.
Chapitre 9 : Les suites numériques Définition des suites, limites, convergence, comparaison...
Chapitre 10 : Arithmétique Arithmétique des entiers, propriété fondamentale de $\mathbf{Z}$, division euclidienne, divisibilité, nombres premiers entre eux, Bézout, pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide...
Chapitre 11 : Limite d'une fonction Définition de la limite, propriétés, comparaison des fonctions ...
Chapitre 12 : La continuité Définition de la continuité, continuité sur un intervalle, sur un segment, continuité uniforme.
Chapitre 13 : La dérivation Dérivation, théorème de Rolle, accroissements finis, classe...
Chapitre 14 : Développements limités Formule de Taylor-Young, développements usuels, règles de calculs, applications.
Chapitre 15 : Structures algébriques Groupes, anneaux, corps, sous-structures.
Chapitre 16 : Les polynômes Structure de $\mathbf{K}[X]$, degré, division euclidienne, racines, formule de Taylor.
Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes Arithmétique dans $\mathbf{K}[X]$.
Chapitre 18 : Espaces vectoriels Espaces vectoriels, applications linéaires, sous-espaces , projections et symétries.
Chapitre 19 : Les fractions rationnelles Définition des fractions rationnelles, structure de corps, décomposition en éléments simples, applications.
Chapitre 20 : La dimension finie Familles génératrices, libres, liées, bases, coordonnées, théorèmes de la dimension finie, rang, théorème du rang. Hyperplans en dimension finie.
Chapitre 21 : Séries numériques Définition d'une série. Série à termes positifs, théorèmes de comparaison. Séries à termes quelconques: convergence absolue. Développement décimal d'un réel.
Chapitre 22 : Les matrices Définitions des matrices, vocabulaire, liens avec les applications linéaires, opérations....
Chapitre 23 : Dénombrement Cardinal d'un ensemble fini, propriétés, dénombrements usuels.
Chapitre 24 : Déterminants Permutations, cycles, signature. Applications n-linéaires alternées, déterminant, applications...
Chapitre 25 : Probabilités sur un univers fini Vocabulaire des probabilités. Probabilité sur un univers fini. Probabilités conditionnelles. Indépendance.
Chapitre 26 : Variables aléatoires Variables aléatoires, espérance, variance. Couple de variables aléatoires, indépendance, covariance.

Année précédente

Cours 2017-18 : le poly du cours.

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